MATEMATICAS 4: UNIDAD 5 TRANSFORMACIONES LINEALES

UNIDAD 5. TRANSFORMACIONES LINEALES

Introducción

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.

Transformaciones Lineales

Existe una clase especial de funciones llamada transformaciones lineales, el cual se ven frecuentemente en el álgebra lineal. Las mismas se aplican a las ciencias físicas, ciencias sociales, economía, comercio y en las ciencias de computadoras.

Repaso de funciones:

Sean A y B dos conjuntos arbitrarios. Suponga que a cada a є A se le asigna un único elemento de B, la colección f de tales asignaciones se llama una función de A en B y se representa de la forma f: A → B. Escribimos f(a) para representar el elemento de B que f le asigna a a є A, a este elemento se le llama la imagen de a por f. El conjunto de todas las imágenes, esto es, f(A) se llama la imagen de f. Además, A es el dominio de la función f: A → B y B es el campo de valores (recorrido).

A cada función f: A → B le corresponde el subconjunto de A x B dado por {(a, f(a))│a є A}. Llamamos a este conjunto la gráfica de f.

Ejemplo: Sea f: R → R la función que le asigna a cada número real x su cuadrado x², esto es, f(x) = x². La imagen de -3 es 9 se expresa de la forma f(-3) = 9.

Definición: Sean V, W espacios vectoriales. Una transformación lineal T de V a W es una función que le asigna a cada vector v en V un único vector Tv є W y que satisface para cada u, v є V y para cada escalar α:

T( u + v) = Tu + Tv
T(αv) = αTv

Notación: Escribimos T: V → W para representar que T lleva V a W.

Ejemplos (para discusión):

1)	Sea T: R² → R² definida por T(x, y) = (x + y, y). Determina si T es una transformación lineal.
2)	Sea T: R² → R² definida por T(x, y) = (-x , y). Esto es, T(1, 2) = (-1, 2). Determina si T es una transformación lineal.
3)	Sea T: R³ → R² definida por T(x, y, z) = (x , y). ¿Será T una transformación lineal?
4)	Sea T: R² → R³ definida por Por ejemplo, . Indica si T es una transformación lineal.
5)	Sean V y W espacios vectoriales y defina T: V → W por Tv = 0 para todo v є V. ¿Es T una transformación lineal?
6)	Sea V un espacio vectorial y defina T: V → V por Tv = v para todo v є V. ¿Es T una transformación lineal?
7)	Defina T:M_mn → M_mn por T(A) = A^t. ¿Será T una transformación lineal?
8)	Sea T:C[0, 1] → C’[0, 1] definida por Tf = f’. ¿Representa T una transformación lineal?
9)	Sea T: C[0, 1] → R definida por . Determina si T es una transformación lineal.
10)	Sea T: C[0, 1] → R definida por Tf = f(0) + 1. Indica si T es una transformación lineal.
11)	Considera la función T: R² → R²definida por . ¿Es T una transformación lineal?
12)	La función f: R → R definida por f(x) = x² no es una transformación lineal, pues, (x + y)² ≠ x² + y². En particular, 5 = 2 + 3 pero: f(5) = 5² = 25 ≠ 13 = 2²+ 3² = f(2) + f(3).
13)	La función f: R² → R definida por T(u) = ║u║ no es una transformación lineal, pues, ║u + v║ ≠ ║u║ + ║v║. Por ejemplo, si u = (1, 2) y v = (3, 4), tenemos que: Por tanto, ║u + v║ ≠ ║u║ + ║v║.

Ejercicio: Sea T: R² → R²determina si T es una transformación lineal si esta definida como:

T(x, y) = (x, -y)
T(x, y) = (x, 1)

Asignación: Determina si la transformación dada de V a W es lineal:

T: R² → R²; T(x, y) = (0, y)
T: R² → R²; T(x, y) = (1, y)
T: R² → R²; T(x, y) = (x + y, x – y)
T: R² → R²; T(x, y) = xy
T:M_nn → M_nn; T(A) = A^t A
T: P₂ → P₁; T(a₀ + a₁x + a₂x²) = a₀ + a₁x

Respuestas:

Si
No es transformación lineal
Si
No, pues T[α(x, y)] = T(αx, αy) = αx ∙αy = α²xy
No, pues (A + B)^t (A + B) = (A^t + B^t) (A + B) = A^tA + A^tB + B^tA + B^tB, pero